在多指标评价体系中，由于各评价指标的性质不同，通常具有不同的量纲和数量级。当各指标间的水平相差很大时，如果直接用原始指标值进行分析，就会突出数值较高的指标在综合分析中的作用，相对削弱数值水平较低指标的作用。因此，为了保证结果的可靠性，需要对原始指标数据进行规范化处理。目前数据规范化方法有多种，归结起来可以分为直线型方法(如极值法、标准差法)、折线型方法(如三折线法)、曲线型方法(如半正态性分布)。不同的规范化方法，对系统的评价结果会产生不同的影响，然而不幸的是，在数据规范化方法的选择上，还没有通用的法则可以遵循。

！！！数据规范化前要注意数据的属性（极大型、极小型、中间型）以及数据发展变化规律（正指标、负指标）。

一、数据指标为什么要规范化？

数据指标的规划化实质是一种线性变换，线性变换有很多良好的性质，这些性质决定了对数据改变后不会造成“失效”，反而能提高数据的表现，这些性质是归一化/标准化的前提。比如有一个很重要的性质：线性变换不会改变原始数据的数值排序。

数据的量纲不同，数量级差别很大

经过规范化处理后，原始数据转化为无量纲化指标测评值，各指标值处于同一数量级别，可进行综合测评分析。如果直接用原始指标值进行分析，就会突出数值较高的指标在综合分析中的作用，相对削弱数值水平较低指标的作用。

避免数值问题：太大的数会引发数值问题。

平衡各特征的贡献

一些分类器需要计算样本之间的距离（如欧氏距离），例如KNN。如果一个特征值域范围非常大，那么距离计算就主要取决于这个特征，从而与实际情况相悖（比如这时实际情况是值域范围小的特征更重要）。

一些模型求解的需要：加快了梯度下降求最优解的速度

在使用梯度下降的方法求解最优化问题时，规范化后可以加快梯度下降的求解速度，即提升模型的收敛速度。

二、指标预处理——转化为正指标

选取合理的评价指标是综合评价问题的第一步，要考虑四个准则——代表性、确定性、独立性、区别能力。

代表性：各层次指标能最好地表达所代表的层次；

确定性：指标值要确定、可量化，高低在评价中有确切的含义；

独立性 ：选定的指标要互相独立，不能相互替代；

区别能力/灵敏性：指标有一定的波动范围。

2.1 指标的属性分类

在我们选取的众多评价指标中，有些指标数值越大越好（“极大型”指标），有些指标越小越好（“极小型”指标），有些指标是在一定范围内（“区间型”指标）。

极大型指标：总是期望指标的取值越大越好；

极小型指标：总是期望指标的取值越小越好；

中间型指标：总是期望指标的取值既不要太大，也不要太小为好，即取适当的中间值为最好;

区间型指标：总是期望指标的取值最好是落在某一个确定的区间内为最好。

例如我们在期末进行综合测评时，评价指标中有学习成绩、缺课率等，学习成绩这项指标是取值越大越好，是极大型指标，学习成绩越高，综合测评得分相应越高；缺课率这项指标是越小越好，是极小型指标，缺课率越高，综合测评得分越低。因此，我们需要对指标进行一致化处理，将所有的指标转化为极大型指标或者极小型指标。

2.2 指标的转化公式

极大型指标（效益类指标），也就是正指标，不做处理

极小型指标（成本类指标）：

中间型指标：

中间型指标的特点：指标的值既不要太大也不要太小，取某个特定的值最好(例如：评估水质量用到的PH值)

{xi}是 一组中间型指标序列，且最佳的数值为xbest, 那么正向化的公式如下：

区间型指标：

{xi}是一组区间型指标序列，且最佳的区间为[a,b]，那么正向化的公式如下：

三、数据规范化方法

数据的规范化(normalization)是将数据按比例缩放，使之落入一个小的特定区间。在某些比较和评价的指标处理中经常会用到，去除数据的单位限制，将其转化为无量纲的纯数值，便于不同单位或量级的指标能够进行比较和加权。其中最典型的就是数据的归一化处理，即将数据统一映射到[0,1]区间上，常见的数据归一化的方法有：min-max标准化（Min-max normalization），z-score标准化（zero-mena normalization，此方法最为常用），模糊量化法。

3.1 min-max规范化(Min-maxnormalization)

也叫离差标准化，是对原始数据的线性变换，使结果落到[0,1]区间，转换函数如下:

对序列x1,x2,...,xn进行变换

则新序列y1,y2,...,yn∈[0,1]且无量纲，不同类型的数据加权时都要进行规范化处理。

离差标准化

其中max为样本数据的最大值，min为样本数据的最小值。

这种方法有一个缺陷就是当有新数据加入时，可能导致max和min的变化，需要重新定义。

3.2 z-score规范化(zero-meannormalization)

并不是所有数据规范化的结果都映射到[0,1]区间上，其中最常见的标准化方法就是Z标准化，也叫标准差标准化。通过规范化，令数据的平均值为 0，标准化为1的标准化方法，在经济社会、传播学研究中使用普遍，公式如下：

其中μ为样本均值， σ为样本标准差。

优点：

保留数据真实距离，维持标准化前数据分布，缩放均为等比例缩放。

标准化后数据的平均值为0，标准化为1。

对极值不敏感。

缺点：

标准化后数据不在固定范围内，如用作指标体系计算还需要进一步标准化。

样本标准化后值不稳定，受样本平均值和标准差影响；当添加新样本时，旧样本的标准化值一定发生变化。

3.3 Sigmoid 函数规范化

如果数据呈现中间集中的分布，同时需要将区分中心部分的差距，可以使用 Sigmod 函数进行标准化，公式如下：

其中系数a为需要区分部分中心的值，系数b为需要区分的程度。

优点：

扭曲了原数据，扩大（加强）了某个中心附近的样本值之间的差距，缩小（减弱）了距离该中心较远的样本值之间的差距。

对极小值和极大值均完全不敏感。

样本标准化后的值稳定，不受样本最大值和最小值的影响。

缺点：

对距离中心较远的样本值之间的差距 非常 不敏感。

3.4 归一化处理

对正数进行变换，使结果落到[0,1]区间，其将数值的绝对值变成相对值关系

3.5 模数单位化

将每个样本的特征向量除以其长度，即对样本特征向量的长度进行归一化，长度的度量常使用的是L2 norm（欧氏距离），有时也会采用L1 norm。

四、几种规范化方法的比较

总的来说，规范化/归一化/标准化的目的是为了获得某种“无关性”——偏置无关、尺度无关、长度无关……当规范化/归一化/标准化方法背后的物理意义和几何含义与当前问题的需要相契合时，其对解决该问题就有正向作用，反之，就会起反作用。所以，“何时选择何种方法”取决于待解决的问题，即problem-dependent。

总结

评价是现代社会各领域的一项经常性的工作，是科学做出管理决策的重要依据。随着人们研究领域的不断扩大，所面临的评价对象日趋复杂，如果仅依据单一指标对事物进行评价往往不尽合理，必须全面地从整体的角度考虑问题，多指标综合评价方法应运而生。评价往往是由多个评价指标构成的，而这些评价指标往往具有不同的属性、数量级和单位，这导致我们无法对不同的指标进行比较、加权、求和等种种后续操作。假设各个指标之间的水平相差很大，此时直接使用原始指标进行分析时，数值较大的指标，在评价模型中的绝对作用就会显得较为突出和重要，而数值较小的指标，其作用则可能就会显得微不足道。因此，为了消除不同评价指标之间存在的差异，统一比较的标准，就需要对数据进行标准化处理，消除不同指标之间因属性不同而带来的影响，从而使结果更具有可比性。