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本文对nlp中一个极为重要的模型——主题模型LDA(Latent
Dirichlet Allocation)从宏观理解与数学解释两个维度进行介绍，希望对您的学习有所帮助。
本文来自于知乎 ，由火龙果软件Alice编辑、推荐。 |
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1、LDA的宏观理解
谈起LDA，自然需要引入pLSA。pLSA是用一个生成模型来建模文章的生成过程。假设有K个主题，M篇文章；对语料库中的任意文章d，假设该文章有N个词，则对于其中的每一个词，我们首先选择一个主题z，然后在当前主题的基础上生成一个词w。
生成主题z和词w的过程遵照一个确定的概率分布。设在文章d中生成主题z的概率为 [公式] ，在选定主题的条件下生成词w的概率为
[公式] ，则给定文章d，生成词w的概率可以写成：
pLSA概率图模型
LDA可以看作是pLSA的贝叶斯版本，其文本生成过程与pLSA基本相同，不同的是为主题分布和词分布分别加了两个狄利克雷（Dirichlet）先验。为什么要加入狄利克雷先验呢？这就要从频率学派和贝叶斯学派的区别说起。pLSA采用的是频率派思想，将每篇文章对应的主题分布[公式]和每个主题对应的词分布[公式]看成确定的未知常数，并可以利用EM算法求解出来；
而LDA采用的是贝叶斯学派的思想，认为待估计的参数（主题分布和词分布）不再是一个固定的常数，而是服从一定分布的随机变量。这个分布符合一定的先验概率分布（即狄利克雷分布），并且在观察到样本信息之后，可以对先验分布进行修正，从而得到后验分布。LDA之所以选择狄利克雷分布作为先验分布，是因为它为多项式分布的共轭先验概率分布，后验概率依然服从狄利克雷分布，这样做可以为计算带来便利。——《百面机器学习》
LDA概率图模型
在LDA概率图模型中，α，β分别为两个狄利克雷分布的超参数，为人工设定。
补充：pLSA虽然可以从概率的角度解释了主题模型，却都只能对训练样本中的文本进行主题识别，而对不在样本中的文本是无法识别其主题的。根本原因在于NMF与pLSA这类主题模型方法没有考虑主题概率分布的先验知识，比如文本中出现体育主题的概率肯定比哲学主题的概率要高，这点来源于我们的先验知识，但是无法告诉NMF主题模型。而LDA主题模型则考虑到了这一问题，目前来说，绝大多数的文本主题模型都是使用LDA以及其变体。
2、LDA的数学基础
2.1 概率基础
（1）二项分布与多项分布
二项分布：
多项分布：
（2）Gamma函数
Gamma函数如有这样的性质：
Gamma函数可以看成是阶乘在实数集上的延拓：
（3）Beta分布和Dirichlet分布
Beta分布的概率密度函数为：
Dirichlet分布的概率密度函数为：
这说明，对于Beta分布的随机变量，其均值可以用 [公式] 来估计。
Dirichlet分布也有类似的结论，如果 [公式] , 同样可以证明：
（4）共轭先验分布
在贝叶斯概率理论中，如果后验概率 [公式] 和先验概率 [公式] 满足同样的分布律，那么，先验分布和后验分布被叫做共轭分布，同时，先验分布叫做似然函数的共轭先验分布。Beta分布是二项式分布的共轭先验分布，而狄利克雷(Dirichlet)分布是多项式分布的共轭先验分布。
2.2 MCMC及Gibbs Sampling
（1）MCMC简介
MCMC采样法主要包括两个MC，即蒙特卡洛法（Monte Carlo）和马尔可夫链（Markov
Chain）。蒙特卡洛法是指基于采样的数值型近似求解方法，而马尔可夫链则用于进行采样。MCMC采样法基本思想是：针对待采样的目标分布，构造一个马尔可夫链，使得该马尔可夫链的平稳分布就是目标分布；然后，从任何一个初始状态出发，沿着马尔可夫链进行状态转移，最终得到的状态转移序列会收敛到目标分布，由此可以得到目标分布的一系列样本。在实际操作中，核心点是如何构造合适的马尔可夫链，即确定马尔可夫链的状态转移概率，这涉及一些马尔可夫链的相关知识点，如时齐性、细致平衡条件、可遍历性、平稳分布等。——《百面机器学习》
在现实应用中，我们很多时候很难精确求出精确的概率分布，常常采用近似推断方法。近似推断方法大致可分为两大类：第一类是采样(Sampling),
通过使用随机化方法完成近似；第二类是使用确定性近似完成近似推断，典型代表为变分推断(variational
inference)。在很多任务中，我们关心某些概率分布并非因为对这些概率分布本身感兴趣，而是要基于他们计算某些期望，并且还可能进一步基于这些期望做出决策。采样法正式基于这个思路。
蒙特卡洛法（Monte Carlo）是指基于采样的数值型近似求解方法，具体来说，假定我们的目标是计算函数f(x)在概率密度函数p(x)下的期望：
根据  进行样本采样 ，最终可计算f(x)在这些样本上的均值：
若概率密度函数 很复杂，则构造服从p分布的独立同分布样本也很困难。MCMC方法的关键在于通过构造“平稳分布为
的马尔可夫链”来产生样本：若马尔科夫链运行时间足够长，即收敛到平稳状态，则此时产出的样本X近似服从分布p。细致平衡条件为：
（2）Metropolis-Hastings算法采样过程:
对于目标分布 ，首先选择一个容易采样的参考条件分布 ，并令
然后根据如下过程进行采样：
1）随机选一个初始样本 ;
2）For t = 1, 2, 3, … :
根据参考条件分布 抽取一个样本 ；
根据均匀分布U(0,1)产生随机数  ；
（3）Gibbs Sampling算法采样过程:
吉布斯采样法是Metropolis-Hastings算法  时的一个特例，其核心思想是每次只对样本的一个维度进行采样和更新。对于目标分布p(x)，按如下过程进行采样：
3、pLSA中的参数估计：
EM求解（1）通过极大似然估计建立目标函数：
（2）EM求解-E步：
确定后验概率：
并带入新的期望目标函数中：
（3）EM求解-M步：
4、LDA中的参数估计：Gibbs Sampling
本节中通过Gibbs Sampling对进行参数估计，需要特别指出的是，Gibbs Sampling其实不是求解的过程，而是通过采样去求后验分布的期望，从而估计最终参数。
通过Gibbs Sampling对进行参数估计分为3个步骤：1）确定联合分布；2）求解后验概率Gibbs
updating rule；3）确立后验分布并求期望估计参数；
（1）确定联合分布：
（2）根据（1）求出的联合分布可以求解Gibbs updating rule
（3）确立后验分布并求期望估计参数：
每个文档上Topic的后验分布和每个Topic下的词的后验分布分别如下（据上文可知：其后验分布跟它们的先验分布一样，也都是Dirichlet
分布）：
根据Dirichlet 分布参数估计：
5、LDA的训练和预测过程：
（1）训练过程
（2）预测过程：LDA的各个主题的词分布 [公式] 已经确定:
6、LDA主题数目选择及评估标准
在LDA中，主题的个数K是一个预先指定的超参数。对于模型超参数的选择，实践中的做法一般是将全部数据集分成训练集、验证集、和测试集3部分，然后利用验证集对超参数进行选择。例如，在确定LDA的主题个数时，我们可以随机选取60%的文档组成训练集，另外20%的文档组成验证集，剩下20%的文档组成测试集。在训练时，尝试多组超参数的取值，并在验证集上检验哪一组超参数所对应的模型取得了最好的效果。最终，在验证集上效果最好的一组超参数和其对应的模型将被选定，并在测试集上进行测试。
为了衡量LDA模型在验证集和测试集上的效果，需要寻找一个合适的评估指标。一个常用的评估指标是困惑度（perplexity）。在文档集合D上，模型的困惑度被定义为：
其中M为文档的总数， [公式] 为文档d中单词所组成的词袋向量，p([公式])为模型所预测的文档d的生成概率，
[公式] 为文档d中单词的总数。
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